El número de oro
El número de oro fue descubierto por los antiguos griegos. Su definición es la siguiente: "dos números A y B están en la proporción de oro si A + B es a A los mismo que A es a B". Un pequeño dibujo puede ilustrar esto mejor:
De modo que tenemos según la definición: (A + B) / A = A / B
Podemos asumir que B = 1 sin pérdida de generalidad:
(A + 1) / A = A;
A + 1 = A2;
A2 - A - 1 = 0;
Con las dos soluciones:
A1 = 1.618033989 y
A2 = 0.618033989.
Otro dato curioso es que Φ, el número de oro, es el único cuyo inverso es él mismo menos uno (se puede comprobar facilmente con las dos soluciones de arriba): X - 1 = 1/X que es la misma ecuación que la de la definición.
El rectángulo de oro
Si construimos un rectángulo cuyos dos lados estén en la proporción áurea, obtenemos algo parecido al dibujo:
Ahora, la reacción más natural del mundo es decirse: Muy bonito, ¿y qué?
Pues resulta que ese rectángulo, con esas proporciones, aparece en diversas obras de arte y construcciones a lo largo de la histora y en varios objetos de uso cotidiano. Ejemplos:
- ¿Cuál es la relación entre los lados de una tarjeta de crédito?
- ¿Cuál es la relación entre los lados de una hoja tamaño folio? No DIN-A 4, sino los folios antiguos (me parece que son los de tamaño legal, pero no estoy seguro).
La respuesta a todas las preguntas es, como acertadamente has supuesto, querido Watson, Φ.
La espiral de oro
Ahora es posible construir una espiral de oro con un rectángulo áureo. Podemos entonces con un compás proyectar un lado y trazar una línea perpendicular. Así tenemos un cuadrado y otro rectángulo áureo. Repetimos esto unas cuantas veces y finalmente unimos los lados con el compás.
Además las diagonales BD y CE también están en la proporción áurea.
Lo curioso de este diseño es que aparece mucho en la naturaleza, bien sea en sitios obvios como por ejemplo en la concha del principio de esta página o e otros donde no lo esperaríamos como por ejemplo en la disposición de las pipas en un girasol.
Y todo esto, ¿porqué?
Eso, ¿porque aparecen números de oro por todas partes? Pues simplemente porque es una relación muy estética y agradable al ojo: muchas construcciones griegas usaban el número áureo en sus proporciones.
La serie de Fibonacci
Fibonacci, Pisa alrededor de 1200
And now, for something completely different...: el crecimiento de una colonia de conejos bajo determinadas condiciones. Interesante hecho investigado por Leonardo de Pisa, o Leonardo Pisano, mejor conocido por el nombre de Fibonacci.
Vivió en Pisa alrededor de 1200 y assumió las siguientes condiciones para su calculación:
- Sólo hay un par de conejos al principio
- Los animales nunca mueren
- A partir de una edad de 2 meses cada pareja de conejos produce una nueva pareja cada mes
¿Cuántos conejos habrá?
La pregunta del millón es por supuesto, ¿cuántos conejos tenemos al cabo de x meses?
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La respuesta es fácil mirándo el diagrama de arriba: empezamos con una pareja. El primer mes no pasa nada, al igual que en el segundo pués no han alcanzado la madurez. El tercer mes tienen crías, en total 2 parejas. Los padres vuelven a criar el siguiente més, los hijos, no pués todavía no pueden. En total 3 parejas. Ahora tanto los padres como los hijos pueden criar: 5 parejas.
Ésto se puede escribir de una forma más clara: llamamos y(n) al número de parejas en el mes n. Las condiciones iniciales son y(1) = y(2) = 1 (las necesitaremos luego). La siguiente ecuación refleja el crecimiento de los conejos según las condiciones asumidas: y(n) = y(n-1) + y(n-2).
Todavía no está claro el porque está Fibonacci relacionado con el número áureo. Veamoslo ahora:
Relación I: el cociente
Lo único que hacemos es crear una serie de Fibonacci según la ecuación de arriba y calcular el cociente entre dos números consecutivos:
| Número de Fibonacci | Cociente |
| 1 | - |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 1,5 |
| 5 | 1,667 |
| 8 | 1,6 |
| 13 | 1,625 |
| 21 | 1,615 |
| 34 | 1,619 |
| 55 | 1,617 |
| 89 | 1,618181 |
| 144 | 1,617977 |
| 233 | 1,618055 |
| 377 | 1,618025 |
| 610 | 1,618037 |
| 987 | 1,618032 |
Como se puede ver facilmente, en pocas iteraciones llegamos bastante cerca del valor real: 1.618033989.
Pero, ¿llega realmete a él? Pues sí, llega. Para demostrarlo llamemos Qn al cociente entre y(n+1) y y(n). Entonces tenemos:
Qn = yn-1 / yn = yn - yn - 1 / yn = 1 + yn-1/ yn = 1 + 1/ Qn-1;
Qn =1 + 1/Qn-1;
Si hay un límite, la serie tenderá a él y cuando lo alcance (aunque sea en el infinito) valdrá: Q* = 1 + 1 / Q*. Y resolviendo la ecuación obetemos que Q* es Φ
Ésto ya nos debería hacer ver que hay una relación entre los dos, pero hay más y es aun más bonito.
Relación II: la expresión cerrada
Hasta ahora todo lo que tenemos es una expresión que nos permite calcular de forma recursiva f(n) sumando los dos números anteriores. Ahora vamos a intentar encontrar una expresión cerrada para la secuencia de Fibonacci.
Comentario: una expresión cerrada de una función es una forma de la función que no contiene una suma infinata o argumentos recursivos. Por ejemplo: sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - ... donde sin(x) es la expresión cerrada.
Tenemos la ecuación y(n) - y(n-1) - y(n-2) = 0 con las dos condiciones iniciales y(1) = y(2) = 1.
La ecuación se puede resolver usando los métodos conocidos para resolver este tipo de ecuaciones. Aquí no entraré de forma detallada en ellos. Los pasos serían:
- Encuentra la solución homogénea
- Encuentra la solución particular
- Usa las condiciones iniciales
Pués bien, después de hacer todo eso obtenemos como solución: y(n) = 1/sqrt(5) * [Φn - (1- Φ)n]. La anterior relación se puede comprobar usando este resultado también.
